2. Вариант 13, Задание 10. Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?

Задание 10

Это задача на смеси и растворы. Будем использовать уравнения, чтобы найти неизвестные массы.

Обозначения:

• Пусть x — масса 45-процентного раствора (кг).
• Тогда масса 97-процентного раствора — y (кг).

Первый случай:

Смешали x кг 45%-го раствора и y кг 97%-го раствора, добавили 10 кг воды. Получили 62%-й раствор.

Масса раствора: \( x + y + 10 \) кг.

Масса кислоты: \( 0.45x + 0.97y \) кг.

Составим уравнение по концентрации:

\[ \frac{0.45x + 0.97y}{x + y + 10} = 0.62 \]

Умножим обе части на \( x + y + 10 \):

\[ 0.45x + 0.97y = 0.62(x + y + 10) \]

\[ 0.45x + 0.97y = 0.62x + 0.62y + 6.2 \]

Перенесём члены с x и y в левую часть, а число — в правую:

\[ 0.97y - 0.62y = 0.62x - 0.45x + 6.2 \]

\[ 0.35y = 0.17x + 6.2 \]

Умножим на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[ 35y = 17x + 620 \]

Второй случай:

Смешали x кг 45%-го раствора и y кг 97%-го раствора, добавили 10 кг 50%-го раствора. Получили 72%-й раствор.

Масса раствора: \( x + y + 10 \) кг.

Масса кислоты: \( 0.45x + 0.97y + 0.50 imes 10 \) кг.

Составим уравнение по концентрации:

\[ \frac{0.45x + 0.97y + 5}{x + y + 10} = 0.72 \]

Умножим обе части на \( x + y + 10 \):

\[ 0.45x + 0.97y + 5 = 0.72(x + y + 10) \]

\[ 0.45x + 0.97y + 5 = 0.72x + 0.72y + 7.2 \]

Перенесём члены с x и y в левую часть, а число — в правую:

\[ 0.97y - 0.72y = 0.72x - 0.45x + 7.2 - 5 \]

\[ 0.25y = 0.27x + 2.2 \]

Умножим на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[ 25y = 27x + 220 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 35y = 17x + 620 \)
2. \( 25y = 27x + 220 \)

Выразим y из второго уравнения:

\[ y = \frac{27x + 220}{25} \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 35 · \frac{27x + 220}{25} = 17x + 620 \]

Сократим 35 и 25 на 5:

\[ 7 · \frac{27x + 220}{5} = 17x + 620 \]

Умножим обе части на 5:

\[ 7(27x + 220) = 5(17x + 620) \]

\[ 189x + 1540 = 85x + 3100 \]

Перенесём члены с x в левую часть, а числа — в правую:

\[ 189x - 85x = 3100 - 1540 \]

\[ 104x = 1560 \]

Найдем x:

\[ x = \frac{1560}{104} \]

\[ x = 15 \]

Ответ: 15 килограммов.