4. В \( \triangle ABC \) BD - биссектриса \( \angle ABC \). По данным чертежа найдите все неизвестные углы.

Решение:

В \( \triangle ABC \):

\( \angle BAC = 86^\text{°} \) (по чертежу).

\( \angle BCA = 52^\text{°} \) (по чертежу).

Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна 180°.

\( \angle ABC = 180^\text{°} - (\angle BAC + \angle BCA) \)

\( \angle ABC = 180^\text{°} - (86^\text{°} + 52^\text{°}) \)

\( \angle ABC = 180^\text{°} - 138^\text{°} = 42^\text{°} \).

BD — биссектриса \( \angle ABC \). Это значит, что она делит угол \( \angle ABC \) на два равных угла.

\( \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{42^\text{°}}{2} = 21^\text{°} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle BDC \):

\( \angle DBC = 21^\text{°} \).

\( \angle BCD = 52^\text{°} \).

\( \angle BDC = 180^\text{°} - (\angle DBC + \angle BCD) \)

\( \angle BDC = 180^\text{°} - (21^\text{°} + 52^\text{°}) \)

\( \angle BDC = 180^\text{°} - 73^\text{°} = 107^\text{°} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle ABD \):

\( \angle ABD = 21^\text{°} \).

\( \angle BAD = 86^\text{°} \).

\( \angle ADB = 180^\text{°} - (\angle ABD + \angle BAD) \)

\( \angle ADB = 180^\text{°} - (21^\text{°} + 86^\text{°}) \)

\( \angle ADB = 180^\text{°} - 107^\text{°} = 73^\text{°} \).

Проверка: \( \angle ADB + \angle BDC = 73^\text{°} + 107^\text{°} = 180^\text{°} \) (развернутый угол).

Ответ: \( \angle ABC = 42^\text{°} \), \( \angle ABD = 21^\text{°} \), \( \angle DBC = 21^\text{°} \), \( \angle ADB = 73^\text{°} \), \( \angle BDC = 107^\text{°} \).