2. Биссектриса внешнего угла при вершине B в \( \triangle ABC \) параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если \( \angle ABC = 42^\text{°} \).

Решение:

Пусть \( \angle ABC = \beta = 42^\text{°} \).

Пусть \( BD \) — биссектриса внешнего угла при вершине B. Внешний угол при вершине B равен \( 180^\text{°} - \beta \).

Тогда \( \angle CBD = \frac{180^\text{°} - \beta}{2} \).

По условию, \( BD \parallel AC \).

Тогда \( \angle CBD = \angle BAC \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и BD и секущей BC).

\( \angle ABC + \angle CBD = 180^\text{°} \) (как углы, прилежащие к стороне AB).

\( \angle BAC = \angle ABC \) (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC, где AB=BC).

Внешний угол при вершине B равен \( 180^\text{°} - 42^\text{°} = 138^\text{°} \).

Так как \( BD \) — биссектриса, то \( \angle CBD = \frac{138^\text{°}}{2} = 69^\text{°} \).

Так как \( BD \parallel AC \), то \( \angle BAC = \angle CBD = 69^\text{°} \) (как накрест лежащие углы).

Ответ: \( \angle BAC = 69^\text{°} \).