4. В треугольнике CDE ∠C = 39°, ∠E = 57°. Через вершину D проведена прямая AB параллельно стороне CE. Найти: ∠ADK, где DK – биссектриса угла CDE.

1. Найдем угол ∠CDE в треугольнике CDE:

\( \angle CDE = 180^{\circ} - (\angle C + \angle E) \)

\( \angle CDE = 180^{\circ} - (39^{\circ} + 57^{\circ}) \)

\( \angle CDE = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ} \)

2. DK – биссектриса угла CDE. Это значит, что она делит угол CDE пополам:

\( \angle CDK = \angle KDE = \frac{\angle CDE}{2} = \frac{84^{\circ}}{2} = 42^{\circ} \)

3. Прямая AB параллельна стороне CE (AB || CE). Прямая DE является секущей для этих параллельных прямых.

\( \angle ADE + \angle DEC = 180^{\circ} \)

\( \angle ADE + 57^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ADE = 180^{\circ} - 57^{\circ} = 123^{\circ} \)

4. Нам нужно найти угол ∠ADK. Мы знаем, что ∠ADE = 123° и ∠KDE = 42°.

5. Угол ∠ADE состоит из углов ∠ADK и ∠KDE.

\( \angle ADE = \angle ADK + \angle KDE \)

\( 123^{\circ} = \angle ADK + 42^{\circ} \)

\( \angle ADK = 123^{\circ} - 42^{\circ} = 81^{\circ} \)

Ответ: ∠ADK = 81°.