4. В треугольнике АВС <С = 60°. На стороне С отмечена точка D так, что <BDC = 60°, AB = 30°, CD = 5 см. Найдите АС и расстояние от точки D до стороны АВ.

Краткая запись:

• ┸ABC
• ∠C = 60°
• Точка D на стороне BC
• ∠BDC = 60°
• AB = 30 см
• CD = 5 см
• Найти: AC, расстояние от D до AB.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим ┸BDC. Известно, что ∠C = 60° и ∠BDC = 60°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠DBC = 180° - 60° - 60° = 60°.
2. Шаг 2: Так как все углы в ┸BDC равны 60°, то ┸BDC является равносторонним. Следовательно, BC = CD = BD = 5 см.
3. Шаг 3: Теперь рассмотрим ┸ABC. Известно, что ∠C = 60°. У нас есть сторона AB = 30 см и сторона BC = 5 см.
4. Шаг 4: Для нахождения стороны AC, применим теорему косинусов к ┸ABC: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 · AC · BC · Сᵖс(∠C) \).
5. Шаг 5: Подставим известные значения: \( 30^2 = AC^2 + 5^2 - 2 · AC · 5 · Сᵖс(60°) \) \( 900 = AC^2 + 25 - 10 · AC · \frac{1}{2} \) \( 900 = AC^2 + 25 - 5AC \).
6. Шаг 6: Приведем уравнение к виду квадратного: \( AC^2 - 5AC + 25 - 900 = 0 \) \( AC^2 - 5AC - 875 = 0 \).
7. Шаг 7: Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 · 1 · (-875) = 25 + 3500 = 3525 \). \( √{D} = √{3525} = √{25 · 141} = 5√{141} \).
8. Шаг 8: Найдем AC: \( AC = \frac{5 ± 5√{141}}{2} \). Так как AC - длина стороны, она должна быть положительной. \( AC = \frac{5 + 5√{141}}{2} \) см.
9. Шаг 9: Теперь найдем расстояние от точки D до стороны AB. Обозначим проекцию D на AB как H. Тогда DH - искомое расстояние.
10. Шаг 10: Площадь ┸ABC можно найти двумя способами: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} · BC · AC · Сᵖин(∠C) = \frac{1}{2} · 5 · \frac{5 + 5√{141}}{2} · \frac{√{3}}{2} = \frac{25√{3}(1+√{141})}{8} \).
11. Шаг 11: Также площадь ┸ABC равна \( S_{ABC} = \frac{1}{2} · AB · DH \). \( DH = \frac{2 · S_{ABC}}{AB} \).
12. Шаг 12: \( DH = \frac{2 · \frac{25√{3}(1+√{141})}{8}}{30} = \frac{25√{3}(1+√{141})}{8 · 15} = \frac{5√{3}(1+√{141})}{24} \) см.

Ответ: AC = \(rac{5 + 5√{141}}{2}\) см, расстояние от D до AB = \(rac{5√{3}(1+√{141})}{24}\) см