4*. В треугольнике ABC O — точка пересечения медиан. Выразите вектор AO через векторы AB и AC.

Пусть M — середина BC. Тогда \(\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\). Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac23\overrightarrow{AM}\).

Подставим выражение для \(\overrightarrow{AM}\):

\(\overrightarrow{AO}=\frac23\cdot\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}\).