4. В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 9. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

DE — средняя линия треугольника ABC. Это означает, что DE параллельна стороне AB и равна половине AB \( \frac{1}{2}AB \).

Также, средняя линия DE отсекает от треугольника ABC подобный треугольник CDE.

Треугольники CDE и CAB подобны по двум углам:

• \( \angle C \) — общий угол.
• \( \angle CDE = \angle CAB \) и \( \angle CED = \angle CBA \) (как соответственные углы при параллельных прямых DE || AB и секущих AC и BC соответственно).

Коэффициент подобия \( k \) равен отношению соответствующих сторон:

\( k = \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB} \)

Поскольку DE — средняя линия, \( DE = \frac{1}{2}AB \), следовательно, \( \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \).

Значит, коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\( \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 \)

\( \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)

Нам дана площадь треугольника CDE: \( S_{CDE} = 9 \).

\( \frac{9}{S_{ABC}} = \frac{1}{4} \)

\( S_{ABC} = 9 \cdot 4 = 36 \).

Ответ: 36.