4*. В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см. Найдите медиану, проведённую к боковой стороне.

Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам: половина основания равна \(12:2=6\) см. По теореме Пифагора боковая сторона равна \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) см.

Рассмотрим медиану к боковой стороне длиной 10 см. По теореме Аполлония для медианы к стороне \(a\): \(m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\). Подставим длины сторон 10, 10 и 12 см: \(m=\frac12\sqrt{2\cdot12^2+2\cdot10^2-10^2}=\frac12\sqrt{388}=\sqrt{97}\) см.

Ответ: \(\sqrt{97}\) см.