4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите ∠ADC, если ∠C = 50°.

Решение:

Дано: Треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC. AD - биссектриса. \(\angle{C} = 50^{\circ}\).

Найти: \(\angle{ADC}\).

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: \(\angle{BAC} = \angle{BCA} = \angle{C} = 50^{\circ}\).
2. Сумма углов треугольника ABC равна 180°. Найдем \(\angle{B}\):
• \(\angle{B} = 180^{\circ} - (\angle{BAC} + \angle{BCA})\)
• \(\angle{B} = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ})\)
• \(\angle{B} = 180^{\circ} - 100^{\circ}\)
• \(\angle{B} = 80^{\circ}\).
3. AD - биссектриса угла A. Биссектриса делит угол пополам:
• \(\angle{CAD} = \angle{BAD} = \frac{\angle{BAC}}{2} = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}\).
4. Рассмотрим треугольник ADC.
5. Известны два угла этого треугольника: \(\angle{C} = 50^{\circ}\) и \(\angle{CAD} = 25^{\circ}\).
6. Сумма углов треугольника ADC равна 180°. Найдем \(\angle{ADC}\):
• \(\angle{ADC} = 180^{\circ} - (\angle{C} + \angle{CAD})\)
• \(\angle{ADC} = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 25^{\circ})\)
• \(\angle{ADC} = 180^{\circ} - 75^{\circ}\)
• \(\angle{ADC} = 105^{\circ}\).

Ответ: \(\angle{ADC} = 105^{\circ}\).