3. Отрезки АВ и СМ пересекаются в их общей середине. Доказать, что прямые АС и ВМ параллельны.

Доказательство:

Пусть отрезки AB и CM пересекаются в точке O, которая является серединой обоих отрезков. Это значит, что AO = OB и CO = OM.

1. Рассмотрим треугольники AOC и BOM.
2. У нас есть:
• AO = OB (по условию, O - середина AB)
• CO = OM (по условию, O - середина CM)
• \(\angle{AOC} = \angle{BOM}\) (как вертикальные углы).
3. Следовательно, треугольник AOC равен треугольнику BOM по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
4. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, в частности:
• \(\angle{CAO} = \angle{MBO}\)
• \(\angle{ACO} = \angle{BMO}\)
5. Рассмотрим углы \(\angle{CAO}\) и \(\angle{MBO}\). Это накрест лежащие углы при прямых AC и BM и секущей AB.
6. Так как \(\angle{CAO} = \angle{MBO}\) (как накрест лежащие углы), то прямые AC и BM параллельны.

Доказано.