4*. В прямоугольной трапеции один из углов равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равна b.

Пусть высота трапеции равна \(h\), а горизонтальная разность оснований — \(x\). Наклонная боковая сторона образует с основанием острый угол \(60°\), поскольку второй угол при этой боковой стороне равен \(120°\). Поэтому \(x=h\cot60°=h/\sqrt3\), а длина наклонной боковой стороны равна \(\sqrt{h^2+x^2}=2h/\sqrt3\).

Большая боковая сторона — наклонная, и по условию её длина равна \(b\). Значит, \(2h/\sqrt3=b\), откуда \(h=\sqrt3 b/2\) и \(x=b/2\).

Обозначим меньшее основание через \(a\). Меньшая диагональ образует прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(h\), поэтому \(a^2+h^2=b^2\). Подставляя высоту, получаем \(a^2+3b^2/4=b^2\), откуда \(a=b/2\).

Разность оснований равна \(x=b/2\), следовательно, большее основание равно \(a+x=b\). Средняя линия равна \((a+b)/2=(b/2+b)/2=3b/4\).

Ответ: \(\dfrac{3b}{4}\).