4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) провели высоту СМ. Найдите угол АВС, если АС = 2 см, АМ = 1 см.

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике АМС (где CM — высота, значит ∠AMC = 90°), найдем угол ∠ACM.
2. Шаг 2: Используем тригонометрическую функцию синуса: $$\sin(\angle ACM) = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2}$$.
3. Шаг 3: Определяем угол: Угол, синус которого равен 1/2, равен 30°. Следовательно, ∠ACM = 30°.
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 90°. Мы знаем, что ∠BCA = ∠ACM + ∠MCB = 90°.
5. Шаг 5: Так как ∠ACM = 30°, то ∠MCB = 90° - 30° = 60°.
6. Шаг 6: В прямоугольном треугольнике ABC, сумма углов равна 180°. Мы ищем ∠ABC. Мы знаем ∠BAC и ∠BCA.
7. Шаг 7: В прямоугольном треугольнике ABC, ∠BAC + ∠ABC = 90°.
8. Шаг 8: Мы нашли ∠ACM = 30°. В треугольнике ABC, ∠BCA = 90°. Угол ∠BAC = 90° - ∠ABC.
9. Шаг 9: Рассмотрим треугольник АСМ. Он прямоугольный, ∠AMC = 90°. AC = 2, AM = 1. $$\sin(\angle CAM) = \frac{CM}{AC}$$. Не знаем CM. $$\cos(\angle CAM) = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2}$$. Отсюда ∠CAM = 60°.
10. Шаг 10: Угол ∠BAC (или ∠CAM) = 60°.
11. Шаг 11: В прямоугольном треугольнике ABC, ∠ABC + ∠BAC = 90°.
12. Шаг 12: ∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 60° = 30°.

Ответ: 30°