4. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение

Дано:

• Правильная четырехугольная пирамида.
• Угол между боковым ребром и основанием = 45°.
• Сторона основания \( a = 6 \) см.

Найти: Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).

1. Найдем высоту пирамиды:

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Центр основания — точка пересечения диагоналей. Диагональ квадрата \( d = a \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \) см.

Радиус описанной окружности вокруг основания \( R = \frac{d}{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), высотой пирамиды (катет) и радиусом описанной окружности (катет). Угол между боковым ребром и основанием равен 45°.

Пусть \( H \) — высота пирамиды. Тогда \( \tan(45^{\circ}) = \frac{H}{R} \).

Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), то \( H = R = 3 \sqrt{2} \) см.

2. Найдем апофему пирамиды:

Апофема \( l \) — это высота боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой (гипотенуза), высотой пирамиды (катет) и половиной стороны основания (катет).

Половина стороны основания = \( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

Используем теорему Пифагора: \( l^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2 \)

\( l^2 = (3 \sqrt{2})^2 + 3^2 = 18 + 9 = 27 \)

\( l = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} \) см.

3. Найдем площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \).

Периметр основания \( P = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 3 \sqrt{3} = 12 \cdot 3 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3} \) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна \( 36 \sqrt{3} \) см².