4. Тип 8. Найдите значение выражения: $$\sqrt{45 \cdot 220 \cdot 44}$$.

Решение:

Упростим выражение под корнем, разложив числа на множители:

1. Разложим числа на простые множители:
• \( 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 \)
• \( 220 = 22 \cdot 10 = 2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 \cdot 11 \)
• \( 44 = 4 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11 \)
2. Подставим разложения в выражение под корнем:
• \( 45 \cdot 220 \cdot 44 = (3^2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 5 \cdot 11) \cdot (2^2 \cdot 11) \)
• Сгруппируем одинаковые множители:
• \( = 3^2 \cdot (2^2 \cdot 2^2) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (11 \cdot 11) \)
• \( = 3^2 \cdot 2^4 \cdot 5^2 \cdot 11^2 \)
3. Извлечём корень:
• \( \sqrt{3^2 \cdot 2^4 \cdot 5^2 \cdot 11^2} = 3 \cdot 2^2 \cdot 5 \cdot 11 \)
• \( = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 11 = 12 \cdot 55 = 660 \)

Ответ: 660