4. Составьте уравнение касательной к графику функции \( y = 2x^3 + 4x^2 \) в точке \( x_0 = 3 \).

Решение:

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 3 \):
   \( y(3) = 2(3)^3 + 4(3)^2 = 2(27) + 4(9) = 54 + 36 = 90 \).
   Координата точки касания: \( (3, 90) \).
2. Найдем производную функции:
   \( y' = (2x^3 + 4x^2)' = 6x^2 + 8x \).
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 3 \) (это угловой коэффициент касательной):
   \( y'(3) = 6(3)^2 + 8(3) = 6(9) + 24 = 54 + 24 = 78 \).
4. Уравнение касательной к графику функции в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид: \( y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \).
   Подставим найденные значения:
   \( y - 90 = 78(x - 3) \)
   \( y - 90 = 78x - 234 \)
   \( y = 78x - 234 + 90 \)
   \( y = 78x - 144 \)

Ответ: \( y = 78x - 144 \).