4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

Решение:

Квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \) можно записать как \( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0 \) (для \( a=1 \)).

а) 1 и 3

Сумма корней: \( 1 + 3 = 4 \). Произведение корней: \( 1 \cdot 3 = 3 \). Уравнение: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).

б) -2 и 0,5

Сумма корней: \( -2 + 0,5 = -1,5 \). Произведение корней: \( -2 \cdot 0,5 = -1 \). Уравнение: \( x^2 - (-1,5)x + (-1) = 0 \) или \( x^2 + 1,5x - 1 = 0 \). Можно умножить на 2: \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \).

в) 0 и 4

Сумма корней: \( 0 + 4 = 4 \). Произведение корней: \( 0 \cdot 4 = 0 \). Уравнение: \( x^2 - 4x = 0 \).

г) \( \frac{1}{3} \) и \( -1 \)

Сумма корней: \( \frac{1}{3} + (-1) = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3} \). Произведение корней: \( \frac{1}{3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3} \). Уравнение: \( x^2 - (-\frac{2}{3})x + (-\frac{1}{3}) = 0 \) или \( x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} = 0 \). Можно умножить на 3: \( 3x^2 + 2x - 1 = 0 \).

д) \( \sqrt{3} \) и \( -\sqrt{3} \)

Сумма корней: \( \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0 \). Произведение корней: \( \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -3 \). Уравнение: \( x^2 - 0x + (-3) = 0 \) или \( x^2 - 3 = 0 \).

е) \( 1 - \sqrt{3} \) и \( 1 + \sqrt{3} \)

Сумма корней: \( (1 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} = 2 \). Произведение корней: \( (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2 \). Уравнение: \( x^2 - 2x - 2 = 0 \).

Ответ: а) \( x^2 - 4x + 3 = 0 \); б) \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \); в) \( x^2 - 4x = 0 \); г) \( 3x^2 + 2x - 1 = 0 \); д) \( x^2 - 3 = 0 \); е) \( x^2 - 2x - 2 = 0 \).