4*. Рис. 278. Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВС = 4, ∠BAC = 30°, О – центр окружности.

1. Треугольник ABC вписан в окружность. BC является хордой. Угол BAC = 30° является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Центральный угол BOC, опирающийся на ту же дугу, равен 2 * ∠BAC = 2 * 30° = 60°. Треугольник BOC равнобедренный (OB = OC = R), и так как угол BOC = 60°, то он равносторонний. Следовательно, BC = OB = OC = R = 4. Площадь сектора BOC = (πR² * 60°)/360° = (π * 4² * 60°)/360° = (16π)/6 = 8π/3. Площадь треугольника BOC = (1/2) * OB * OC * sin(60°) = (1/2) * 4 * 4 * (√3/2) = 4√3. Площадь заштрихованной фигуры (сегмента) = Площадь сектора BOC - Площадь треугольника BOC = 8π/3 - 4√3.