4. Решите графически уравнение $$\frac{4}{x} = x - 3$$.

Решение:

Чтобы решить уравнение графически, построим графики двух функций: \( y = \frac{4}{x} \) (гипербола) и \( y = x - 3 \) (прямая).

На графике видно, что линии пересекаются в двух точках. Решим уравнение аналитически, чтобы найти точные значения:

1. Приравняем правые части уравнений: \( \frac{4}{x} = x - 3 \)
2. Умножим обе части на \( x \) (при условии, что \( x \neq 0 \)): \( 4 = x(x-3) \)
3. Раскроем скобки: \( 4 = x^2 - 3x \)
4. Перенесём всё в одну сторону: \( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \).
6. Корни: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3+5}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3-5}{2} = -1 \).
7. Соответствующие значения \( y \):
• При \( x = 4 \), \( y = 4-3 = 1 \).
• При \( x = -1 \), \( y = -1-3 = -4 \).

Точки пересечения: (4; 1) и (-1; -4).

Ответ: x = 4, x = -1.