4. Rationalize the denominators of the fractions: $$\frac{10}{3\sqrt{5}}$$; $$\frac{11}{2\sqrt{3}+1}$$. $$\frac{15}{2\sqrt{6}}$$; $$\frac{19}{2\sqrt{5}-1}$$.

4. Освобождение от иррациональности в знаменателе:

а) $$\frac{10}{3\sqrt{5}}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{5}$$:

$$\frac{10}{3\sqrt{5}} = \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{10\sqrt{5}}{15} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$$.

б) $$\frac{11}{2\sqrt{3}+1}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $$2\sqrt{3}-1$$:

$$\frac{11}{2\sqrt{3}+1} = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)} = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{4 \cdot 3 - 1} = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{12 - 1} = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{11} = 2\sqrt{3}-1$$.

а) $$\frac{15}{2\sqrt{6}}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{6}$$:

$$\frac{15}{2\sqrt{6}} = \frac{15 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{15\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{15\sqrt{6}}{12} = \frac{5\sqrt{6}}{4}$$.

б) $$\frac{19}{2\sqrt{5}-1}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $$2\sqrt{5}+1$$:

$$\frac{19}{2\sqrt{5}-1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1)} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{4 \cdot 5 - 1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{20 - 1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{19} = 2\sqrt{5}+1$$.

Ответ: а) $$\frac{2\sqrt{5}}{3}$$; б) $$2\sqrt{3}-1$$. а) $$\frac{5\sqrt{6}}{4}$$; б) $$2\sqrt{5}+1$$.