4. Расстояние между двумя пунктами по реке равно 80 км. По течению реки лодка проплывает это расстояние за 5 ч, а против течения реки — за 8 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Решение:

Пусть \( v_л \) — собственная скорость лодки (в км/ч), а \( v_т \) — скорость течения реки (в км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v_л + v_т \).

Скорость лодки против течения: \( v_л - v_т \).

Расстояние равно 80 км.

Из условия задачи составляем систему уравнений, используя формулу \( \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \):

1) По течению: \( (v_л + v_т) \times 5 = 80 \) \(\Rightarrow v_л + v_т = \frac{80}{5} = 16 \)

2) Против течения: \( (v_л - v_т) \times 8 = 80 \) \(\Rightarrow v_л - v_т = \frac{80}{8} = 10 \)

Получаем систему:

\[ \begin{cases} v_л + v_т = 16 \\ v_л - v_т = 10 \end{cases} \]

Сложим два уравнения системы, чтобы найти \( v_л \):

\[ (v_л + v_т) + (v_л - v_т) = 16 + 10 \]\[ 2v_л = 26 \]\[ v_л = \frac{26}{2} \]\[ v_л = 13 \]

Теперь найдём \( v_т \), подставив значение \( v_л \) в первое уравнение:

\[ 13 + v_т = 16 \]\[ v_т = 16 - 13 \]\[ v_т = 3 \]

Проверка: Скорость по течению: \( 13 + 3 = 16 \) км/ч. Время: \( 80 / 16 = 5 \) ч. Скорость против течения: \( 13 - 3 = 10 \) км/ч. Время: \( 80 / 10 = 8 \) ч. Верно.

Ответ: собственная скорость лодки 13 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч.