4. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 18 см, а два угла треугольника равны по 45°. Найдите стороны треугольника АВС.

Решение:

• Пусть \( R = 18 \) см — радиус описанной окружности.
• Пусть \( \angle A = 45° \) и \( \angle B = 45° \). Тогда \( \angle C = 180° - 45° - 45° = 90° \). Треугольник ABC — прямоугольный и равнобедренный.
• По теореме синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \).
• Найдем сторону AB (гипотенузу c): \( \frac{c}{\sin 90°} = 2 \cdot 18 \) => \( c = 36 \cdot 1 = 36 \) см.
• Найдем стороны AC (b) и BC (a). Так как треугольник равнобедренный, \( a = b \).
• \( \frac{a}{\sin 45°} = 36 \) => \( a = 36 \cdot \sin 45° = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2} \) см.
• Следовательно, \( b = 18\sqrt{2} \) см.

Ответ: Стороны треугольника АВС равны \( 18\sqrt{2} \) см, \( 18\sqrt{2} \) см и 36 см.