2. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром О, ∠AOB=80°, BC:UAC=2:5. Найдите угол АСВ и угол ОВС.

Решение:

• Угол АОВ — центральный, значит, дуга АВ = 80°.
• Пусть отношение дуг BC и AC равно 2:5. Общая дуга АСВ = 360° - дуга АВ = 360° - 80° = 280°.
• Разделим дугу АСВ на части, соответствующие отношению 2:5. Пусть \( BC = 2x \) и \( AC = 5x \). Тогда \( 2x + 5x = 280° \) => \( 7x = 280° \) => \( x = 40° \).
• Дуга BC = \( 2 \cdot 40° = 80° \). Дуга AC = \( 5 \cdot 40° = 200° \).
• Угол АСВ — вписанный, опирается на дугу АВ. \( \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга AB} = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40° \).
• В треугольнике ОВС: OB = ОС (радиусы). Следовательно, треугольник равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = \frac{1}{2} (180° - \text{дуга BC}) = \frac{1}{2} (180° - 80°) = \frac{1}{2} cdot 100° = 50° \).

Ответ: Угол АСВ равен 40°, угол ОВС равен 50°.