Контрольные задания
Вопрос:

4) Провести исследование функции: f(x) = 0,8x5 - 4x³, [-1; 2]

Фото задания: 4) Провести исследование функции: f(x) = 0,8x5 - 4x³, [-1; 2]Фото задания

Ответ:

Исследование функции \( f(x) = 0.8x^5 - 4x^3 \) на отрезке [ -1; 2 ]

  1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел \( x \), то есть \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
  2. Производная функции:
    \( f'(x) = \frac{d}{dx}(0.8x^5 - 4x^3) = 0.8 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 3x^2 \)
    \( f'(x) = 4x^4 - 12x^2 \)
  3. Критические точки: Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.
    \( 4x^4 - 12x^2 = 0 \)
    \( 4x^2(x^2 - 3) = 0 \)
    Отсюда \( 4x^2 = 0 \) или \( x^2 - 3 = 0 \>.
    \( x^2 = 0 \) ⇒ \( x = 0 \>.
    \( x^2 = 3 \) ⇒ \( x = \pm \sqrt{3} \>.
    \( \sqrt{3} \approx 1.732 \>.
    Критические точки: \( x = 0, x = \sqrt{3}, x = -\sqrt{3} \>.
  4. Исследование на монотонность и экстремумы на отрезке [ -1; 2 ]:
    Нас интересуют точки \( x = 0 \) и \( x = \sqrt{3} \> (так как \( -1 \le 0 \le 2 \) и \\(-1 \le \sqrt{3} \le 2 \>\).
    Рассмотрим интервалы на отрезке [ -1; 2 ]: \( [-1; 0), \(0; \sqrt{3}\), (\(\sqrt{3}\); 2] \>.
    • На интервале \( [-1; 0) \>: Возьмем \( x = -0.5 \>.
      \( f'(-0.5) = 4(-0.5)^4 - 12(-0.5)^2 = 4(0.0625) - 12(0.25) = 0.25 - 3 = -2.75 < 0 \>.
      Функция убывает.
    • В точке \( x = 0 \>: Производная равна нулю. Точка \( x=0 \> не является точкой экстремума, так как знак производной не меняется.
    • На интервале \( \(0; \sqrt{3}\) \>: Возьмем \( x = 1 \>.
      \( f'(1) = 4(1)^4 - 12(1)^2 = 4 - 12 = -8 < 0 \>.
      Функция убывает.
    • На интервале \( (\sqrt{3}; 2] \>: Возьмем \( x = 1.8 \>.
      \( f'(1.8) = 4(1.8)^4 - 12(1.8)^2 = 4(10.4976) - 12(3.24) = 41.9904 - 38.88 = 3.1104 > 0 \>.
      Функция возрастает.
  5. Выводы по монотонности и экстремумам:
    • Функция убывает на интервалах \( [-1; \sqrt{3}] \>.
    • Функция возрастает на интервале \( [\sqrt{3}; 2] \>.
    • В точке \( x = \sqrt{3} \> функция имеет локальный минимум.
  6. Построение графика:
    • Найдем значения функции в критических и граничных точках на отрезке [ -1; 2 ]:
    • \( f(-1) = 0.8(-1)^5 - 4(-1)^3 = 0.8(-1) - 4(-1) = -0.8 + 4 = 3.2 \>.
    • \( f(0) = 0.8(0)^5 - 4(0)^3 = 0 \>.
    • \( f\(\sqrt{3}\) = 0.8\(\sqrt{3}\)^5 - 4\(\sqrt{3}\)^3 = 0.8\(9\sqrt{3}\) - 4\(3\sqrt{3}\) = 7.2\(\sqrt{3}\) - 12\(\sqrt{3}\) = -4.8\(\sqrt{3}\) \(\approx\) -4.8 \(\cdot\) 1.732 \(\approx\) -8.3136 \>.
    • \( f(2) = 0.8(2)^5 - 4(2)^3 = 0.8(32) - 4(8) = 25.6 - 32 = -6.4 \>.