3) Напишите уравнение касательной к графику функции y=2x³-2x²+x-1 в точке с абсциссой х=3.

Решение:

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \), нужно знать значение функции и её производной в этой точке. Уравнение касательной имеет вид: \( y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 3 \):
   \( f(3) = 2(3)^3 - 2(3)^2 + 3 - 1 \)
   \( f(3) = 2(27) - 2(9) + 3 - 1 \)
   \( f(3) = 54 - 18 + 3 - 1 \)
   \( f(3) = 36 + 2 \)
   \( f(3) = 38 \)
2. Найдем производную функции: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 2x^2 + x - 1) \)
   \( f'(x) = 6x^2 - 4x + 1 \)
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 3 \):
   \( f'(3) = 6(3)^2 - 4(3) + 1 \)
   \( f'(3) = 6(9) - 12 + 1 \)
   \( f'(3) = 54 - 12 + 1 \)
   \( f'(3) = 42 + 1 \)
   \( f'(3) = 43 \)
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
   \( y = f'(3)(x - 3) + f(3) \)
   \( y = 43(x - 3) + 38 \)
   \( y = 43x - 129 + 38 \)
   \( y = 43x - 91 \)

Ответ: уравнение касательной: \( y = 43x - 91 \).