4. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

Решение:

1) \( (a^n + 2a^{n-2}) \cdot a^2 \)

1. Умножим \( a^2 \) на каждый член выражения в скобках.
2. \( a^n \cdot a^2 = a^{n+2} \)
3. \( 2a^{n-2} \cdot a^2 = 2a^{n-2+2} = 2a^n \)

Ответ: \( a^{n+2} + 2a^n \)

2) \( (a^{n+4} - a^{2n-3}) \cdot 2a^{n-2} \)

1. Умножим \( 2a^{n-2} \) на каждый член выражения в скобках.
2. \( a^{n+4} \cdot 2a^{n-2} = 2a^{n+4+n-2} = 2a^{2n+2} \)
3. \( -a^{2n-3} \cdot 2a^{n-2} = -2a^{2n-3+n-2} = -2a^{3n-5} \)

Ответ: \( 2a^{2n+2} - 2a^{3n-5} \)

3) \( (2,1a^{2n} - 3,5a^{n-3} + 1,4a^{4n-5}) \cdot \frac{1}{7}a^{2n+2} \)

1. Умножим \( \frac{1}{7}a^{2n+2} \) на каждый член выражения в скобках.
2. \( 2,1a^{2n} \cdot \frac{1}{7}a^{2n+2} = \frac{2,1}{7}a^{2n+2n+2} = 0,3a^{4n+2} \)
3. \( -3,5a^{n-3} \cdot \frac{1}{7}a^{2n+2} = -\frac{3,5}{7}a^{n-3+2n+2} = -0,5a^{3n-1} \)
4. \( 1,4a^{4n-5} \cdot \frac{1}{7}a^{2n+2} = \frac{1,4}{7}a^{4n-5+2n+2} = 0,2a^{6n-3} \)

Ответ: \( 0,3a^{4n+2} - 0,5a^{3n-1} + 0,2a^{6n-3} \)

4) \( -\frac{4}{5}a^{n+2}b^{2n-3} \left( -\frac{2}{9}a^{n-1}b^{n+2} - \frac{5}{18}a^{n+5}b^{2n-3} \right) \)

1. Умножим \( -\frac{4}{5}a^{n+2}b^{2n-3} \) на каждый член выражения в скобках.
2. \( -\frac{4}{5}a^{n+2}b^{2n-3} \cdot (-\frac{2}{9}a^{n-1}b^{n+2}) = \frac{8}{45}a^{n+2+n-1}b^{2n-3+n+2} = \frac{8}{45}a^{2n+1}b^{3n-1} \)
3. \( -\frac{4}{5}a^{n+2}b^{2n-3} \cdot (-\frac{5}{18}a^{n+5}b^{2n-3}) = \frac{20}{90}a^{n+2+n+5}b^{2n-3+2n-3} = \frac{2}{9}a^{2n+7}b^{4n-6} \)

Ответ: \( \frac{8}{45}a^{2n+1}b^{3n-1} + \frac{2}{9}a^{2n+7}b^{4n-6} \)