4. Постройте на координатной плоскости а) точки А, В, С, D, если А(-6; -3), B(6; 3), C(-3;3); D(-1;-5). б) Определите координату точки пересечения прямых АВ и CD.

Решение:

а) Построение точек на координатной плоскости:

Для построения точек отмечаем на оси абсцисс (x) первое число, а на оси ординат (y) — второе число в координатах точки. Затем находим точку их пересечения.

• Точка А(-6; -3): от начала координат влево на 6 единиц, затем вниз на 3 единицы.
• Точка B(6; 3): от начала координат вправо на 6 единиц, затем вверх на 3 единицы.
• Точка C(-3; 3): от начала координат влево на 3 единицы, затем вверх на 3 единицы.
• Точка D(-1; -5): от начала координат влево на 1 единицу, затем вниз на 5 единиц.

б) Определение координаты точки пересечения прямых АВ и CD:

1. Найдём уравнение прямой АВ:

Через точки \( A(-6, -3) \) и \( B(6, 3) \).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точек:

\( -3 = k(-6) + b \) \( \rightarrow \) \( -3 = -6k + b \) (1)

\( 3 = k(6) + b \) \( \rightarrow \) \( 3 = 6k + b \) (2)

Сложим уравнения (1) и (2):

\[ (-3) + 3 = (-6k + b) + (6k + b) \]

\[ 0 = 2b \] \( \rightarrow \) \( b = 0 \).

Подставим \( b = 0 \) в уравнение (2):

\[ 3 = 6k + 0 \] \( \rightarrow \) \( k = \frac{3}{6} = 0.5 \).

Уравнение прямой АВ: \( y = 0.5x \).

2. Найдём уравнение прямой CD:

Через точки \( C(-3, 3) \) и \( D(-1, -5) \).

Подставим координаты точек:

\( 3 = k(-3) + b \) \( \rightarrow \) \( 3 = -3k + b \) (3)

\( -5 = k(-1) + b \) \( \rightarrow \) \( -5 = -k + b \) (4)

Выразим \( b \) из уравнения (4): \( b = -5 + k \).

Подставим \( b \) в уравнение (3):

\[ 3 = -3k + (-5 + k) \]

\[ 3 = -3k - 5 + k \]

\[ 3 = -2k - 5 \]

\[ 3 + 5 = -2k \]

\[ 8 = -2k \] \( \rightarrow \) \( k = -4 \).

Найдём \( b \): \( b = -5 + k = -5 + (-4) = -9 \).

Уравнение прямой CD: \( y = -4x - 9 \).

3. Найдём точку пересечения прямых АВ и CD:

Приравняем уравнения прямых:

\[ 0.5x = -4x - 9 \]

\[ 0.5x + 4x = -9 \]

\[ 4.5x = -9 \]

\[ x = \frac{-9}{4.5} = -2 \].

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = -2 \) в уравнение прямой АВ:

\[ y = 0.5 \cdot (-2) = -1 \].

Точка пересечения имеет координаты \( (-2, -1) \).

Ответ: а) Точки построены на координатной плоскости; б) Координаты точки пересечения прямых АВ и CD: \( (-2; -1) \).