№4. Постройте график функции y = {-2x - 0,5, если x < -2; -2x - 6,5, если -2 ≤ x ≤ -1; x - 3,5, если x > -1 И определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Построение графика функции:

Данная функция является кусочно-линейной. Рассмотрим каждую ветвь на её интервале.

Ветвь 1: \( y = -2x - 0.5 \), если \( x < -2 \)

Это линейная функция. Найдем значение в граничной точке:

• При \( x = -2 \): \( y = -2(-2) - 0.5 = 4 - 0.5 = 3.5 \). Точка (-2, 3.5) (не включается).
• Возьмем еще одну точку, например, \( x = -3 \): \( y = -2(-3) - 0.5 = 6 - 0.5 = 5.5 \). Точка (-3, 5.5).

Ветвь 2: \( y = -2x - 6.5 \), если \( -2 \le x \le -1 \)

Это линейная функция. Найдем значения в граничных точках:

• При \( x = -2 \): \( y = -2(-2) - 6.5 = 4 - 6.5 = -2.5 \). Точка (-2, -2.5).
• При \( x = -1 \): \( y = -2(-1) - 6.5 = 2 - 6.5 = -4.5 \). Точка (-1, -4.5).

Ветвь 3: \( y = x - 3.5 \), если \( x > -1 \)

Это линейная функция. Найдем значение в граничной точке:

• При \( x = -1 \): \( y = -1 - 3.5 = -4.5 \). Точка (-1, -4.5) (не включается).
• Возьмем еще одну точку, например, \( x = 0 \): \( y = 0 - 3.5 = -3.5 \). Точка (0, -3.5).

График:

Определение значений \( m \):

Прямая \( y = m \) является горизонтальной линией. Чтобы она имела с графиком ровно две общие точки, она должна пересекать две разные ветви графика. Анализируя график, можно увидеть, что это происходит в следующих случаях:

• Если \( m \) находится между максимальным значением первой ветви (исключая саму точку) и минимальным значением второй ветви. Максимальное значение первой ветви при \( x \to -2 \) равно 3.5. Минимальное значение второй ветви при \( x = -1 \) равно -4.5.
• Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь две общие точки, если \( -4.5 < m < 3.5 \).

Ответ: \( m \) должно принадлежать интервалу \( (-4.5; 3.5) \).