4. По данным рисунка найдите угол \(\alpha\).

Решение:

Прямые \(a\) и \(c\) пересечены секущими.

Рассмотрим прямые \(a\) и \(b\) и секущую, на которой отмечены углы \(105^{\circ}\) и \(65^{\circ}\).

Угол \(105^{\circ}\) и смежный с ним угол равны \(180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}\).

Угол \(65^{\circ}\) и угол \(75^{\circ}\) не равны, значит, прямые \(a\) и \(b\) не параллельны.

Рассмотрим прямые \(b\) и \(c\) и секущую, на которой отмечены углы \(65^{\circ}\) и \(75^{\circ}\).

Угол \(65^{\circ}\) и угол \(75^{\circ}\) не равны, значит, прямые \(b\) и \(c\) не параллельны.

Рассмотрим прямые \(a\) и \(c\) и секущую, на которой отмечены углы \(105^{\circ}\) и \(\alpha\).

Угол \(105^{\circ}\) и внутренний односторонний угол с \(\alpha\) в сумме должны давать \(180^{\circ}\), если \(a ↔ c\). Но мы не знаем, параллельны ли \(a\) и \(c\).

Рассмотрим секущую, пересекающую \(a\), \(b\) и \(c\). Угол \(105^{\circ}\) и смежный с ним угол равны \(180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}\).

Теперь рассмотрим прямые \(a\) и \(c\) и секущую, которая образует с \(a\) угол \(105^{\circ}\) и с \(c\) угол \(\alpha\).

Угол \(75^{\circ}\) (смежный с \(105^{\circ}\)) и угол \(65^{\circ}\) являются внутренними накрест лежащими при секущей. Так как \(75^{\circ} \neq 65^{\circ}\), прямые \(a\) и \(b\) не параллельны.

Угол \(65^{\circ}\) и угол \(75^{\circ}\) (который мы получили как смежный с \(105^{\circ}\)) являются внутренними односторонними при пересечении прямых \(b\) и \(c\) секущей. Их сумма \(65^{\circ} + 75^{\circ} = 140^{\circ}\) \(\neq 180^{\circ}\), значит, \(b\) и \(c\) не параллельны.

Рассмотрим прямые \(a\) и \(c\). Угол \(105^{\circ}\) при пересечении с прямой \(a\). Угол \(\alpha\) при пересечении с прямой \(c\).

Угол \(75^{\circ}\) (смежный с \(105^{\circ}\)) и угол \(\alpha\) являются внутренними накрест лежащими при секущей, если \(a ↔ c\).

Угол \(65^{\circ}\) и угол \(75^{\circ}\) (смежный с \(105^{\circ}\)) являются внутренними односторонними при секущей. Их сумма \(65^{\circ} + 75^{\circ} = 140^{\circ}\).

Рассмотрим прямую \(a\) и секущую. Угол \(105^{\circ}\). Угол \(\alpha\) при пересечении с прямой \(c\).

Угол, соответствующий \(\alpha\) при пересечении прямой \(a\) и той же секущей, равен \(\alpha\).

Угол \(65^{\circ}\) и угол \(75^{\circ}\) (смежный с \(105^{\circ}\)) — внутренние односторонние. Сумма \(65^{\circ} + 75^{\circ} = 140^{\circ}\). Значит, \(b\) и \(c\) не параллельны.

Угол \(105^{\circ}\) и угол \(75^{\circ}\) (смежный с \(105^{\circ}\)).

Угол \(75^{\circ}\) и угол \(65^{\circ}\) — внутренние накрест лежащие для \(a\) и \(b\). Не равны.

Рассмотрим прямые \(a\) и \(c\). Угол \(105^{\circ}\) и угол \(\alpha\). Смежный с \(105^{\circ}\) угол равен \(75^{\circ}\).

Угол \(75^{\circ}\) и угол \(\alpha\) являются внутренними односторонними углами при секущей, если \(a ↔ c\).

По рисунку видно, что \(a ↔ c\).

Следовательно, \(75^{\circ} + \alpha = 180^{\circ}\).

\(\alpha = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}\).

Проверим: Если \(\alpha = 105^{\circ}\), то внутренний накрест лежащий угол при секущей равен \(180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}\). Это совпадает со смежным углом к \(105^{\circ}\).

Ответ: \(\alpha = 105^{\circ}\).