4. Отрезки AB и BC являются соответственно диаметром и хордой окружности с центром О. Найдите величину угла АОС, если угол ОСВ равен 29°.

Решение:

1. Так как AB — диаметр, то угол ACB — вписанный, опирающийся на диаметр, следовательно, \( \angle ACB = 90^{\circ} \).
2. В треугольнике BOC: OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = 29^{\circ} \).
3. Угол BOC — центральный, опирающийся на дугу BC. Его величина равна сумме углов \( \angle OBC + \angle OCB \) в равнобедренном треугольнике BOC.
4. \( \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (29^{\circ} + 29^{\circ}) = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} \).
5. Угол AOC — развёрнутый угол, который является смежным к углу BOC. \( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle BOC \).
6. \( \angle AOC = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ} \).

Ответ: 58°.