4. Основания трапеции равны 1 и 13, одна из боковых сторон равна 15√2, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны a = 1 и b = 13. Боковая сторона c = 15√2. Угол между боковой стороной и основанием равен 135°.

Площадь трапеции находится по формуле: S = ((a + b) / 2) * h, где h - высота трапеции.

Проведем высоту из вершины, где боковая сторона образует угол 135°, к большему основанию.

Эта высота образует прямоугольный треугольник с боковой стороной и частью большего основания. Угол при большем основании будет 180° - 135° = 45°.

В этом прямоугольном треугольнике:

• Гипотенуза = c = 15√2
• Один из острых углов = 45°
• Второй острый угол = 90° - 45° = 45°

Так как углы равны 45°, то треугольник прямоугольный и равнобедренный. Высота (h) равна второй стороне, прилежащей к острому углу 45°.

Используем тригонометрию или свойства равнобедренного прямоугольного треугольника.

\[ h = c \times \sin(45^{\circ}) \]

\[ h = 15\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ h = 15 \times \frac{2}{2} = 15 \]

Теперь найдем площадь трапеции:

\[ S = \frac{1 + 13}{2} \times 15 \]

\[ S = \frac{14}{2} \times 15 \]

\[ S = 7 \times 15 = 105 \]

Ответ: 105