4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — равнобокая трапеция, \( BC \) и \( AD \) — основания, \( BC = 12 \) см, \( AD = 20 \) см. \( AB = CD \).

Пусть \( AC \) — диагональ, являющаяся биссектрисой тупого угла \( \angle DAB \).

Так как \( AC \) — биссектриса \( \angle DAB \), то \( \angle DAC = \angle CAB \).

Рассмотрим углы при параллельных основаниях \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \).

\( ∥ CAD = ∥ ACB \) (как накрест лежащие).

Из равенства \( ∥ DAC = ∥ CAB \) и \( ∥ CAD = ∥ ACB \) следует, что \( ∥ CAB = ∥ ACB \).

Это означает, что треугольник \( ABC \) равнобедренный с основанием \( AB \), то есть \( AB = BC = 12 \) см.

Так как трапеция равнобокая, то \( CD = AB = 12 \) см.

Чтобы найти площадь трапеции, нам нужна её высота.

Проведем высоту \( BK \) к основанию \( AD \).

В равнобокой трапеции:

\( AK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABK \).

По теореме Пифагора:

\( BK^2 + AK^2 = AB^2 \)

\( BK^2 + 4^2 = 12^2 \)

\( BK^2 + 16 = 144 \)

\( BK^2 = 144 - 16 \)

\( BK^2 = 128 \)

\( BK = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\cdot\sqrt{2} \) см.

Высота трапеции \( h = BK = 8\cdot\sqrt{2} \) см.

Площадь трапеции находится по формуле:

\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)

\( S = \frac{12 + 20}{2} \cdot 8\cdot\sqrt{2} \)

\( S = \frac{32}{2} \cdot 8\cdot\sqrt{2} \)

\( S = 16 \cdot 8\cdot\sqrt{2} \)

\( S = 128\cdot\sqrt{2} \) см².

Ответ: \( 128\cdot\sqrt{2} \) см².