4. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь полной и боковой поверхности призмы.

4. Вычисление площади полной и боковой поверхности призмы

Дано:

• Прямая призма.
• Основание — прямоугольный треугольник.
• Катет 1: \( a = 15 \) см.
• Катет 2: \( b = 20 \) см.
• Большая боковая грань и основание равновелики (площадь равна).

Найти:

• Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)
• Площадь полной поверхности \( S_{полн} \)

Решение:

1. Найдем площадь основания (S_осн):
   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 15 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 150 \text{ см}^2 \]
2. Найдем гипотенузу основания (c):
   По теореме Пифагора:
   \[ c^2 = a^2 + b^2 = (15 \text{ см})^2 + (20 \text{ см})^2 = 225 \text{ см}^2 + 400 \text{ см}^2 = 625 \text{ см}^2 \]
   \[ c = \sqrt{625 \text{ см}^2} = 25 \text{ см} \]
3. Найдем высоту призмы (h):
   Большая боковая грань имеет площадь, равную произведению гипотенузы основания на высоту призмы (так как гипотенуза — самая длинная сторона основания). По условию, площадь большей боковой грани равна площади основания.
   \[ S_{бок. грань} = c \cdot h \]
   Так как \( S_{бок. грань} = S_{осн} \), то:
   \[ 25 \text{ см} \cdot h = 150 \text{ см}^2 \]
   \[ h = \frac{150 \text{ см}^2}{25 \text{ см}} = 6 \text{ см} \]
4. Найдем площадь боковой поверхности (S_бок):
   Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
   \[ P_{осн} = a + b + c = 15 \text{ см} + 20 \text{ см} + 25 \text{ см} = 60 \text{ см} \]
   \[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 60 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 360 \text{ см}^2 \]
5. Найдем площадь полной поверхности (S_полн):
   Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.
   \[ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 360 \text{ см}^2 + 2 \cdot 150 \text{ см}^2 = 360 \text{ см}^2 + 300 \text{ см}^2 = 660 \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 360 см², площадь полной поверхности призмы равна 660 см².