4. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Высота пирамиды проходит через одну из вершин основания и равна 8 см. а) Докажите, что боковые грани пирамиды прямоугольные треугольники. б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Обозначим прямоугольник основания \(ABCD\), где \(AB=6\), \(AD=8\), а вершина пирамиды \(S\) расположена над \(A\). Тогда \(SA=8\) и \(SA\perp(ABCD)\).

а) Так как \(SA\) перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна \(AB\) и \(AD\). Поэтому треугольники \(SAB\) и \(SAD\) прямоугольные при \(A\).

В основании \(AB\perp BC\), а \(SA\perp BC\), следовательно, \(BC\) перпендикулярна плоскости \(SAB\), в частности \(BC\perp SB\). Значит, \(SBC\) прямоугольный при \(B\). Аналогично \(CD\perp AD\) и \(CD\perp SA\), поэтому \(CD\perp SD\); треугольник \(SCD\) прямоугольный при \(D\).

б) Площадь основания: \(6\cdot8=48\text{ см}^2\).

Площади граней: \(S_{SAB}=\frac12\cdot6\cdot8=24\text{ см}^2\), \(S_{SAD}=\frac12\cdot8\cdot8=32\text{ см}^2\).

По теореме Пифагора \(SB=\sqrt{8^2+6^2}=10\) см, поэтому \(S_{SBC}=\frac12\cdot8\cdot10=40\text{ см}^2\).

Также \(SD=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt2\) см, поэтому \(S_{SCD}=\frac12\cdot6\cdot8\sqrt2=24\sqrt2\text{ см}^2\).

\(S_{полн}=48+24+32+40+24\sqrt2=144+24\sqrt2\text{ см}^2\).

Ответ: а) все боковые грани — прямоугольные треугольники; б) \(144+24\sqrt2\) см².