4. Основание пирамиды МАВCD — квадрат со стороной 6 см, боковые грани АВМ и СВМ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, АМ = 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Основание пирамиды — квадрат \( ABCD \) со стороной \( a = 6 \) см. Боковые грани \( ABM \) и \( CBM \) перпендикулярны плоскости основания. Это означает, что рёбра \( AB \) и \( CB \) перпендикулярны плоскости основания (так как они являются линиями пересечения перпендикулярных плоскостей и лежат в плоскости основания).

Если \( AB \) и \( CB \) перпендикулярны плоскости основания, то они перпендикулярны и друг другу (так как \( ABCD \) — квадрат). Значит, \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

Так как \( AB \) перпендикулярно плоскости основания, то \( AB \) перпендикулярно \( AM \) (если \( M \) — вершина пирамиды). Аналогично, \( CB \) перпендикулярно \( CM \).

Нам дано \( AB = 6 \) см, \( BC = 6 \) см, \( AM = 10 \) см.

Так как \( AB \) перпендикулярно плоскости основания, то \( AB \) является высотой пирамиды. \( AB = 6 \) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды — это сумма площадей боковых граней. В данном случае, боковые грани — это \( ABM \), \( BCM \), \( CDM \) и \( DAM \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABM \). Это прямоугольный треугольник, так как \( AB \) перпендикулярна плоскости основания, а \( BM \) лежит в этой плоскости (нет, это не так. \( AB \) перпендикулярна плоскости основания, значит \( AB \) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через \( B \). \( BM \) не обязательно лежит в плоскости основания).

Перечитаем условие: «боковые грани \( ABM \) и \( CBM \) перпендикулярны плоскости основания пирамиды». Если грань перпендикулярна плоскости, то высота грани, проведённая из вершины, лежащей на линии пересечения плоскостей (вершина \( M \)), является высотой этой грани и перпендикулярна линии пересечения грани с основанием.

Линия пересечения грани \( ABM \) и плоскости основания — это \( AB \). Значит, \( BM \) перпендикулярно \( AB \) (нет, это не верно. Вершина \( M \) общая. Линия пересечения граней \( ABM \) и \( CBM \) — это \( BM \). Если две плоскости перпендикулярны третьей, то их линия пересечения перпендикулярна этой третьей плоскости. Значит, \( BM \) перпендикулярна плоскости основания). Это не так, вершина \( M \) находится над плоскостью основания.

Если грани \( ABM \) и \( CBM \) перпендикулярны плоскости основания, то их высоты, опущенные из \( M \) на \( AB \) и \( BC \) соответственно, будут перпендикулярны плоскости основания. Это означает, что \( M \) проектируется на \( AB \) и \( BC \). Это возможно только если \( M \) лежит на \( AB \) и \( BC \), что противоречит условию пирамиды.

Давайте поймём, где находится точка \( M \). Если две грани перпендикулярны плоскости основания, то их линия пересечения \( BM \) перпендикулярна плоскости основания. Значит, \( BM \) — высота пирамиды. \( BM \) перпендикулярна плоскости \( ABCD \).

\( BM \) — высота пирамиды. \( BM \) перпендикулярна \( AB \) и \( BC \).

Рассмотрим \( \triangle ABM \). Он прямоугольный, так как \( BM \) перпендикулярна \( AB \). \( AB = 6 \) см, \( AM = 10 \) см. Найдем \( BM \):

\( BM^2 = AM^2 - AB^2 \)

\( BM^2 = 10^2 - 6^2 \)

\( BM^2 = 100 - 36 \)

\( BM^2 = 64 \)

\( BM = 8 \) см. Это высота пирамиды.

Теперь найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырёх треугольников: \( ABM \), \( BCM \), \( CDM \), \( DAM \).

1. \( \triangle ABM \): прямоугольный, \( AB = 6 \), \( BM = 8 \). Площадь \( S_{ABM} = \frac{1}{2} \times AB \times BM = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \) см².

2. \( \triangle BCM \): прямоугольный, \( BC = 6 \), \( BM = 8 \). Площадь \( S_{BCM} = \frac{1}{2} \times BC \times BM = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \) см².

3. \( \triangle CDM \): Основание \( CD = 6 \) см. Высота этого треугольника — \( MK \), где \( K \) — середина \( CD \). \( MK \) — апофема. \( OK = \frac{1}{2} CD = 3 \) см. \( \triangle BOK \) — прямоугольный. \( BK \) — высота равнобедренного \( \triangle BCM \). \( BK = BM = 8 \) (нет, \( BM \) — высота пирамиды). \( OK \) — расстояние от центра квадрата до стороны \( CD \). \( OK = 3 \) см. \( \triangle MOK \) — прямоугольный. \( MK^2 = BM^2 + OK^2 \)

\( MK^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73 \)

\( MK = \sqrt{73} \) см. Это апофема для грани \( CDM \).

Площадь \( S_{CDM} = \frac{1}{2} \times CD \times MK = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{73} = 3\sqrt{73} \) см².

4. \( \triangle DAM \): Основание \( DA = 6 \) см. Апофема этого треугольника будет такой же, как и для \( CDM \), так как квадрат симметричен. Расстояние от \( O \) до \( DA \) равно 3 см. \( MK' \) — апофема. \( MK'^2 = BM^2 + (\text{расстояние от O до DA})^2 = 8^2 + 3^2 = 73 \)

\( MK' = \sqrt{73} \) см.

Площадь \( S_{DAM} = \frac{1}{2} \times DA \times MK' = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{73} = 3\sqrt{73} \) см².

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = S_{ABM} + S_{BCM} + S_{CDM} + S_{DAM} \)

\( S_{бок} = 24 + 24 + 3\sqrt{73} + 3\sqrt{73} \)

\( S_{бок} = 48 + 6\sqrt{73} \) см².

Ответ: \( 48 + 6\sqrt{73} \) см².