3. Через вершину В треугольника АВС, в котором АВ = BC = 34 см, АС = 32 см, проведён перпендикуляр DB к плоскости треугольника. Найдите угол между плоскостями АВС и ADC, если DB = 20 см.

Решение:

Угол между плоскостями \( ABC \) и \( ADC \) — это линейный угол двугранного угла. Чтобы найти его, нужно найти две прямые, перпендикулярные линии пересечения плоскостей (прямой \( AC \)) в одной из плоскостей и в другой плоскости. Такую прямую, перпендикулярную \( AC \), проведём из точки \( B \) в плоскости \( ABC \) и из точки \( D \) в плоскости \( ADC \).

Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AB = BC \), то высота \( BO \), проведённая из вершины \( B \) к основанию \( AC \), также является и медианой. Следовательно, \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) см.

Найдем высоту \( BO \) в \( \triangle ABC \) по теореме Пифагора:

\( BO^2 = AB^2 - AO^2 \)

\( BO^2 = 34^2 - 16^2 \)

\( BO^2 = 1156 - 256 \)

\( BO^2 = 900 \)

\( BO = \sqrt{900} = 30 \) см.

Так как \( DB \) перпендикулярен плоскости \( ABC \), то \( DB \) перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку \( B \). Значит, \( DB \) перпендикулярен \( BO \). Таким образом, \( \triangle DBO \) — прямоугольный.

Также, так как \( DB \) перпендикулярен плоскости \( ABC \), а \( AO \) лежит в этой плоскости, то \( DB \) перпендикулярен \( AO \). Мы знаем, что \( AO \) перпендикулярен \( BO \) (так как \( BO \) — высота). Из этого следует, что \( AO \) перпендикулярен плоскости \( DBO \), а значит, \( AO \) перпендикулярен \( DO \).

Найдем \( DO \) в прямоугольном \( \triangle DBO \) по теореме Пифагора:

\( DO^2 = DB^2 + BO^2 \)

\( DO^2 = 20^2 + 30^2 \)

\( DO^2 = 400 + 900 \)

\( DO^2 = 1300 \)

\( DO = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13} \) см.

Теперь рассмотрим \( \triangle DAO \). \( AO = 16 \) см, \( DO = 10\sqrt{13} \) см, \( DA \) — гипотенуза. Угол \( \angle DAO \) — это угол между плоскостями \( ABC \) и \( ADC \), так как \( AO \) перпендикулярен \( AC \) (лежащей в плоскости \( ABC \)), и \( AO \) перпендикулярен \( DO \) (лежащей в плоскости \( ADC \) и перпендикулярной \( AC \) через точку \( O \)).

Найдем угол \( \angle DAO \) в прямоугольном \( \triangle DAO \) (так как \( AO \) перпендикулярен плоскости \( DBO \), значит, \( AO \) перпендикулярен \( DO \)).

\( \cos(\angle DAO) = \frac{AO}{DO} = \frac{16}{10\sqrt{13}} = \frac{8}{5\sqrt{13}} = \frac{8\sqrt{13}}{65} \)

\( \angle DAO = \arccos(\frac{8\sqrt{13}}{65}) \).

Ответ: \( \arccos(\frac{8\sqrt{13}}{65}) \).