4. Определите вид треугольника ABC, если A(8,4,-6), B(3,10,-4), C(2,4,3).

Решение:

Найдем квадраты длин сторон треугольника ABC.

AB²: \( (3-8)^2 + (10-4)^2 + (-4-(-6))^2 = (-5)^2 + 6^2 + 2^2 = 25 + 36 + 4 = 65 \).

BC²: \( (2-3)^2 + (4-10)^2 + (3-(-4))^2 = (-1)^2 + (-6)^2 + 7^2 = 1 + 36 + 49 = 86 \).

AC²: \( (2-8)^2 + (4-4)^2 + (3-(-6))^2 = (-6)^2 + 0^2 + 9^2 = 36 + 0 + 81 = 117 \>.

Сравним квадраты длин сторон: \( 65 + 86 = 151 \neq 117 \). Таким образом, треугольник не является прямоугольным.

Так как \( AB^2 + BC^2 \neq AC^2 \), \( AB^2 + AC^2 \neq BC^2 \) и \( BC^2 + AC^2 \neq AB^2 \), треугольник не является прямоугольным.

Все стороны имеют разную длину, следовательно, треугольник является разносторонним.

Ответ: Треугольник ABC — разносторонний.