4. Найти функцию, обратную к функции \(y=2(x+6)^{-1}\), указать её область определения и множество значений.

Запишем исходную функцию как \(y=\frac{2}{x+6}\), где \(x\ne-6\). Чтобы найти обратную функцию, меняем местами \(x\) и \(y\) и выражаем \(y\):

\(x=\frac{2}{y+6}\), поэтому \(x(y+6)=2\), откуда \(y=\frac{2}{x}-6\).

У обратной функции знаменатель не равен нулю, значит её область определения — \(x\ne0\). Значение \(-6\) функция принимать не может, поэтому множество значений — все действительные числа, кроме \(-6\).

Ответ: \(f^{-1}(x)=\frac{2}{x}-6\); область определения — \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), множество значений — \(\mathbb{R}\setminus\{-6\}\).