2. Изобразить эскиз графика функции $y=x^{-6}$. 1) Выяснить, на каких промежутках функция возрастает. 2) Сравнить числа: $(4{,}2)^{-6}$ и 1; $\left(\frac{1}{3}\right)^{-6}$ и $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Изобразить эскиз графика функции $y=x^{-6}$. 1) Выяснить, на каких промежутках функция возрастает. 2) Сравнить числа:…$ Фото задания

2. Изобразить эскиз графика функции $y=x^{-6}$. 1) Выяснить, на каких промежутках функция возрастает. 2) Сравнить числа: $(4{,}2)^{-6}$ и 1; $\left(\frac{1}{3}\right)^{-6}$ и $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-6}$.

Accepted Answer

Функция имеет вид $y=\frac{1}{x^6}$, поэтому определена при $x\ne 0$, положительна и чётна. При приближении $x$ к нулю значение неограниченно возрастает, а при удалении от нуля стремится к нулю.

Эскиз графика:

Для $x\ne0$ производная $y'=-6x^{-7}$. При $x<0$ она положительна, а при $x>0$ отрицательна. Поэтому функция возрастает на $( -\infty;0 )$ и убывает на $(0;+infty)$.

Сравнение:

Так как $4{,}2>1$, то $(4{,}2)^{-6}=1/(4{,}2)^6<1$.
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-6}=3^6=729$, а $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-6}=(\sqrt{2})^6=8$. Следовательно, первое число больше второго.

Ответ: функция возрастает на $( -\infty;0 )$; $(4{,}2)^{-6}<1$; $\left(\frac{1}{3}\right)^{-6}>\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-6}$.