4. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 и 6√3.

Решение:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Половины диагоналей равны: \( \frac{6}{2} = 3 \) и \( \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба (которая является гипотенузой).

По теореме Пифагора, квадрат стороны ромба \( a \) равен сумме квадратов половин диагоналей:

\( a^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 \)

\( a^2 = 9 + (9 \cdot 3) \)

\( a^2 = 9 + 27 \)

\( a^2 = 36 \)

\( a = \sqrt{36} = 6 \).

Ответ: \( 6 \)