2. Меньшая сторона прямоугольника равна половина его диагонали. Найдите угол между диагоналями.

Решение:

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \( a \). Тогда диагональ \( d = 2a \).

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной \( a \) и половинами диагоналей \( \frac{d}{2} = a \).

Так как две стороны этого треугольника равны \( a \), он является равнобедренным.

Угол между диагоналями — это угол при вершине этого равнобедренного треугольника.

Третий угол этого треугольника (прилежащий к большей стороне прямоугольника) равен \( \beta \).

Стороны этого треугольника равны \( a, a, b \), где \( b \) — большая сторона прямоугольника.

Мы знаем, что \( a = \frac{d}{2} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами \( a, b \) и диагональю \( d \), имеем \( a^2 + b^2 = d^2 = (2a)^2 = 4a^2 \).

Тогда \( b^2 = 3a^2 \), и \( b = a\sqrt{3} \).

В этом прямоугольном треугольнике, \( \sin \beta = \frac{a}{d} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \).

Следовательно, \( \beta = 30° \).

Углы равнобедренного треугольника, образованного меньшей стороной и диагоналями, равны \( \alpha \). Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( 2\alpha + \beta = 180° \)

\( 2\alpha + 30° = 180° \)

\( 2\alpha = 150° \)

\( \alpha = 75° \).

Углы между диагоналями равны \( \alpha \) и \( 180° - \alpha \).

Острый угол между диагоналями равен \( 180° - 2\alpha = 180° - 2 \cdot5° = 30° \).

Тупой угол между диагоналями равен \( 180° - 30° = 150° \).

Угол между диагоналями — это один из этих углов. Обычно подразумевается острый угол.

Ответ: \( 30° \)