4. Найдите первообразную функции f(x) = 3х – 3х², график которой походит через точку А (-1;2)

Решение:

Первообразная функции \( f(x) = 3x - 3x^2 \) имеет вид:

\[ F(x) = \int (3x - 3x^2) dx = 3 \int x dx - 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{3}{2}x^2 - x^3 + C \]

Теперь найдём значение \( C \), используя тот факт, что график первообразной проходит через точку \( A(-1; 2) \). Подставим координаты точки в уравнение первообразной:

\[ 2 = \frac{3}{2}(-1)^2 - (-1)^3 + C \]

\[ 2 = \frac{3}{2}(1) - (-1) + C \]

\[ 2 = \frac{3}{2} + 1 + C \]

\[ 2 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} + C \]

\[ 2 = \frac{5}{2} + C \]

\[ C = 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} \]

Следовательно, первообразная имеет вид:

\[ F(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2} \]

Ответ: \( F(x) = \frac{3}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2} \)