4. Найдите наибольшее значение функции y = 17 - $$\sqrt{5x^2 - 4x - 9}$$ и определите, при каких значениях х оно достигается.

Решение:

Функция \( y = 17 - \sqrt{5x^2 - 4x - 9} \).

Наибольшее значение функции \( y \) будет достигаться тогда, когда значение подкоренного выражения \( \sqrt{5x^2 - 4x - 9} \) будет наименьшим, при условии, что оно неотрицательно.

Рассмотрим подкоренное выражение: \( 5x^2 - 4x - 9 \).

Чтобы найти наименьшее значение этого квадратичного трёхчлена, найдём его вершину. Ось параболы \( x = -\frac{b}{2a} \).

\[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]

Теперь подставим это значение \( x \) в подкоренное выражение:

\[ 5(\frac{2}{5})^2 - 4(\frac{2}{5}) - 9 = 5(\frac{4}{25}) - \frac{8}{5} - 9 = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} - \frac{45}{5} = \frac{4 - 8 - 45}{5} = \frac{-49}{5} \]

Так как значение подкоренного выражения \( 5x^2 - 4x - 9 \) стало отрицательным \(-\frac{49}{5} < 0 \), это означает, что выражение \( \sqrt{5x^2 - 4x - 9} \) не определено для \( x = \frac{2}{5} \).

Нам нужно найти область определения функции, т.е. \( 5x^2 - 4x - 9 \ge 0 \).

Найдем корни уравнения \( 5x^2 - 4x - 9 = 0 \):

\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9)}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{10} = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{10} = \frac{4 \pm 14}{10} \]

\( x_1 = \frac{4 + 14}{10} = \frac{18}{10} = 1.8 \)

\( x_2 = \frac{4 - 14}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \)

Таким образом, \( 5x^2 - 4x - 9 \ge 0 \) при \( x \in (-\infty; -1] \cup [1.8; +\infty) \).

Наименьшее значение подкоренного выражения \( \sqrt{5x^2 - 4x - 9} \) на этой области определения будет равно 0. Это достигается при \( x = -1 \) или \( x = 1.8 \).

Наибольшее значение функции \( y \) будет, когда \( \sqrt{5x^2 - 4x - 9} = 0 \).

\[ y_{max} = 17 - 0 = 17 \]

Это значение достигается при \( x = -1 \) и \( x = 1.8 \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 17 и достигается при \( x = -1 \) и \( x = 1.8 \).