4. Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°. Точка О — центр окружности.

Решение:

Угол \( KOM \) — центральный угол, градусная мера которого равна градусной мере дуги \( KM \), на которую он опирается.

Дано:

• Градусная мера дуги \( MN \) равна \( 124^{\circ} \).
• Градусная мера дуги \( KN \) равна \( 180^{\circ} \).

Так как \( KN \) — дуга, то \( m \stackrel{\frown}{KN} = 180^{\circ} \). Это означает, что \( K \) и \( N \) являются концами диаметра, проходящего через \( K \) и \( N \).

Нам нужно найти \( \angle KOM \), что эквивалентно нахождению \( m \stackrel{\frown}{KM} \).

Мы знаем, что \( m \stackrel{\frown}{KN} = m \stackrel{\frown}{KM} + m \stackrel{\frown}{MN} \) (если \( M \) находится на дуге \( KN \) вместе с \( K \) и \( N \), что противоречит условию, так как \( MN = 124 \) и \( KN = 180 \)).

Правильнее рассматривать дугу \( KMN \) или \( KNM \).

Исходя из рисунка и условия:

\( m \stackrel{\frown}{KN} = 180^{\circ} \).

\( m \stackrel{\frown}{MN} = 124^{\circ} \).

Нам нужно найти \( \angle KOM \), который равен \( m \stackrel{\frown}{KM} \).

Можно найти полную окружность: \( 360^{\circ} \).

\( m \stackrel{\frown}{KM} = 360^{\circ} - m \stackrel{\frown}{KN} - m \stackrel{\frown}{MN} \) — это неверно, так как \( KN \) и \( MN \) могут пересекаться.

Однако, если \( KN \) — это полуокружность (диаметр), то \( m \stackrel{\frown}{KMN} = m \stackrel{\frown}{KN} = 180^{\circ} \) или \( m \stackrel{\frown}{KN} = 180^{\circ} \).

Пусть \( KN \) — диаметр. Тогда дуга \( KMN \) не может быть \( 180^{\circ} \), если \( MN = 124^{\circ} \).

Если \( m \stackrel{\frown}{KN} = 180^{\circ} \), это означает, что \( K \) и \( N \) — концы диаметра.

Тогда дуга \( KMN \) = \( m \stackrel{\frown}{KM} + m \stackrel{\frown}{MN} \) или \( m \stackrel{\frown}{KN} = m \stackrel{\frown}{KM} + m \stackrel{\frown}{MN} \) (если \( M \) лежит на дуге \( KN \), что невозможно).

Правильное рассуждение:

Полная окружность = \( 360^{\circ} \).

\( m \stackrel{\frown}{KN} = 180^{\circ} \) (по условию, и это может быть полуокружностью).

\( m \stackrel{\frown}{MN} = 124^{\circ} \).

Мы ищем \( \angle KOM \) = \( m \stackrel{\frown}{KM} \).

Дуга \( KMN \) = \( m \stackrel{\frown}{KN} \) (если \( M \) на противоположной стороне от \( KN \)) или \( m \stackrel{\frown}{KMN} = m \stackrel{\frown}{KM} + m \stackrel{\frown}{MN} \).

Если \( KN \) — диаметр, то \( m \stackrel{\frown}{KN} = 180^{\circ} \).

Тогда \( m \stackrel{\frown}{KM} + m \stackrel{\frown}{MN} + m \stackrel{\frown}{NK} = 360^{\circ} \).

\( m \stackrel{\frown}{KM} + 124^{\circ} + 180^{\circ} = 360^{\circ} \) — это неверно, так как \( KN \) является частью окружности, а не отдельной дугой, которую нужно отнять.

Правильно: Дуга \( KMN \) = \( m \stackrel{\frown}{KM} + m \stackrel{\frown}{MN} \).

Нам дано \( m \stackrel{\frown}{KN} = 180^{\circ} \). Это значит, что \( K \) и \( N \) — концы диаметра.

Оставшаяся часть окружности, не относящаяся к \( KN \), равна \( 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ} \).

Эта оставшаяся часть состоит из дуги \( KM \) и дуги \( MN \).

\( m \stackrel{\frown}{KM} + m \stackrel{\frown}{MN} = 180^{\circ} \) (при условии, что \( M \) находится на другой половине окружности от \( KN \)).

\( m \stackrel{\frown}{KM} + 124^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( m \stackrel{\frown}{KM} = 180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ} \).

Центральный угол \( \angle KOM \) равен градусной мере дуги \( KM \).

\( \angle KOM = m \stackrel{\frown}{KM} = 56^{\circ} \).

Ответ: 56°.