4) На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что АД = 4, ДС = 7. Площадь треугольника АВС равна 55. Найдите площадь треугольника ABD

Решение:

Треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle BDC \) имеют общую высоту, опущенную из вершины \( B \) на сторону \( AC \). Отношение их площадей равно отношению их оснований.

Дано:

• \( D \) — точка на \( AC \)
• \( AD = 4 \)
• \( DC = 7 \)
• Площадь \( \triangle ABC = 55 \)

Найти:

• Площадь \( \triangle ABD \)

Длина стороны \( AC = AD + DC = 4 + 7 = 11 \).

Пусть \( h \) — высота, опущенная из вершины \( B \) на сторону \( AC \).

Площадь \( \triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \)

\( 55 = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot h \)

\( 110 = 11 \cdot h \)

\( h = \frac{110}{11} = 10 \)

Теперь найдём площадь \( \triangle ABD \):

Площадь \( \triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h \)

Площадь \( \triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 \)

Площадь \( \triangle ABD = 2 \cdot 10 \)

Площадь \( \triangle ABD = 20 \)

Ответ: 20