4. На шоколадной фабрике стоят два одинаковых дозирующих автома Каждый автомат должен отмерять порции шоколада массой 100 г. На фабрикепроизводится проверка оборудования. Для этого инженеры взвесили с большой точностью по 10 порций, отмеренных каждым автоматом. Результаты измерений представлены в таблице. а) С какой точностью и массу порции? б) Попробуйте сделать выводы о состоянии дозирующих автоматов. Нуждается какой-то из этих автоматов в ремонте или в регулировке?

Решение:

Таблица измерений массы порций шоколада (в граммах):

1. а) Точность и массу порции:

   Для определения точности и массы порции каждого автомата, рассчитаем среднее значение и стандартное отклонение (меру разброса данных) для каждой группы измерений.

   Автомат 1:

   Среднее арифметическое: \( \bar{x}_1 = \frac{102.1 + 109.3 + 98.4 + 99.2 + 105.6 + 103.7 + 97.1 + 101.7 + 102.4 + 95.7}{10} = \frac{1015.2}{10} = 101.52 \) г.

   Стандартное отклонение (примерный расчет): \( s_1 \approx \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x}_1)^2}{n-1}} \)
   \( s_1 \approx \sqrt{\frac{(102.1-101.52)^2 + (109.3-101.52)^2 + ... + (95.7-101.52)^2}{9}} \)
   \( s_1 \approx \sqrt{\frac{0.34 + 60.53 + ... + 33.87}{9}} \)
   \( s_1 \approx \sqrt{\frac{469.36}{9}} \approx \sqrt{52.15} \approx 7.22 \) г.

   Автомат 2:

   Среднее арифметическое: \( \bar{x}_2 = \frac{96.7 + 95.1 + 97.1 + 96.8 + 97.3 + 96.5 + 96.8 + 97.2 + 95.6 + 97.3}{10} = \frac{970.4}{10} = 97.04 \) г.

   Стандартное отклонение: \( s_2 \approx \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x}_2)^2}{n-1}} \)
   \( s_2 \approx \sqrt{\frac{(96.7-97.04)^2 + (95.1-97.04)^2 + ... + (97.3-97.04)^2}{9}} \)
   \( s_2 \approx \sqrt{\frac{0.11 + 3.76 + ... + 0.07}{9}} \)
   \( s_2 \approx \sqrt{\frac{13.78}{9}} \approx \sqrt{1.53} \approx 1.24 \) г.

   Точность определяется стандартным отклонением. Автомат 2 более точен, так как его стандартное отклонение (1.24 г) значительно меньше, чем у Автомата 1 (7.22 г).

   Средняя масса порции у Автомата 1 составляет 101.52 г, а у Автомата 2 — 97.04 г. Заявленная масса — 100 г.

2. б) Выводы о состоянии автоматов:

   Автомат 1 показывает очень большой разброс в массе порций (от 95.7 г до 109.3 г), что подтверждается высоким стандартным отклонением (7.22 г). Его средняя масса порции (101.52 г) также превышает заявленные 100 г.

   Автомат 2 показывает гораздо меньший разброс в массе порций (от 95.1 г до 97.3 г), и его стандартное отклонение (1.24 г) свидетельствует о высокой точности дозирования. Однако, его средняя масса порции (97.04 г) ниже заявленных 100 г.

   Заключение:

   Автомат 1 явно нуждается в регулировке, так как он не обеспечивает требуемую точность и не соответствует заявленной массе порции.

   Автомат 2, вероятно, нуждается в регулировке для установки более точного целевого значения массы порции (100 г), так как он показывает хорошую точность дозирования, но выдает порции меньшей массы.

Ответ: а) Точность Автомата 1 (стандартное отклонение ≈ 7.22 г), Автомата 2 (стандартное отклонение ≈ 1.24 г). Средняя масса порции Автомата 1 ≈ 101.52 г, Автомата 2 ≈ 97.04 г. Автомат 2 точнее. б) Автомат 1 нуждается в срочной регулировке из-за большого разброса и несоответствия средней массе. Автомат 2 нуждается в регулировке для достижения целевой массы порции в 100 г, несмотря на хорошую точность.