4. На рисунке изображен вписанный четырёхугольник ABCD. По данным рисунка найдите: 1) градусную меру ∠A, ∠B, ∠D; 2) градусную меру дуги AD, дуги CD.

Решение:

1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника:

   Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

   • \( \angle A + \angle C = 180° \)
   • \( \angle B + \angle D = 180° \)
2. Найдём градусные меры углов:

   Дано: \( \angle C = 93° \), \( \angle B = 115° \).

   \( \angle A = 180° - \angle C = 180° - 93° = 87° \)

   \( \angle D = 180° - \angle B = 180° - 115° = 65° \)

3. Связь между центральным углом и дугой:

   Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу.

   Важно: В данном случае углы четырёхугольника вписанные. Для определения дуг AD и CD нам необходимы центральные углы, которых нет на рисунке. По условию задачи, нам даны вписанные углы. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

4. Найдём градусные меры дуг:

   Дуга BCD = \( 2 \times \angle A = 2 \times 87° = 174° \). Это сумма дуг BC и CD.

   Дуга ABC = \( 2 \times \angle D = 2 \times 65° = 130° \). Это сумма дуг AB и BC.

   Дуга ADC = \( 2 \times \angle B = 2 \times 115° = 230° \). Это сумма дуг AD и CD.

   Дуга BAD = \( 2 \times \angle C = 2 \times 93° = 186° \). Это сумма дуг AB и AD.

   Чтобы найти дуги AD и CD, нам нужна дополнительная информация, так как они являются частью нескольких сумм дуг. Углы 27° и 115° относятся к углам четырёхугольника, а не к дугам.

   Допустим, что 27° - это вписанный угол, опирающийся на дугу CD.

   Если \( \angle X = 27° \) — вписанный угол, опирающийся на дугу CD, то дуга CD = \( 2 \times 27° = 54° \).

   Тогда дуга AD = Дуга ADC - Дуга CD = \( 230° - 54° = 176° \).

   Проверим:

   \( \angle B = 115° \), дуга ADC = \( 2 \times 115° = 230° \). Дуга AD + Дуга CD = \( 176° + 54° = 230° \). Верно.

   \( \angle C = 93° \), дуга BAD = \( 2 \times 93° = 186° \). Дуга AB + Дуга AD = \( 186° \). Чтобы найти дугу AB, нужно знать дугу BC.

   Допустим, что 115° - это вписанный угол ∠B, а 27° - это вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

   Если \( \angle Y = 27° \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB, то дуга AB = \( 2 \times 27° = 54° \).

   Тогда дуга CD = Дуга ADC - Дуга AD. Дуга ADC = \( 2 \times \text{угла, опирающегося на неё} \) .

   Переосмыслим обозначения. Вероятно, 115° и 93° — это углы C и B, а 27° — это угол, который опирается на какую-то дугу. На рисунке 27° не обозначен как угол четырёхугольника. Возможно, это вписанный угол, опирающийся на дугу CD.

   Предположим, что 27° - это градусная мера вписанного угла, опирающегося на дугу CD.

   Тогда дуга CD = \( 2 \times 27° = 54° \).

   Так как \( \angle C = 93° \), то дуга BAD = \( 2 \times 93° = 186° \). Дуга BAD = Дуга AB + Дуга AD.

   Так как \( \angle B = 115° \), то дуга ADC = \( 2 \times 115° = 230° \). Дуга ADC = Дуга AD + Дуга CD.

   Из \( Дуга ADC = Дуга AD + Дуга CD \) следует: \( 230° = Дуга AD + 54° \). Отсюда \( Дуга AD = 230° - 54° = 176° \).

   Теперь найдём дугу AB:

   \( Дуга BAD = Дуга AB + Дуга AD \)

   \( 186° = Дуга AB + 176° \)

   \( Дуга AB = 186° - 176° = 10° \).

   Проверим сумму всех дуг:

   Дуга AB + Дуга BC + Дуга CD + Дуга AD = \( 10° + \text{Дуга BC} + 54° + 176° = 360° \).

   Чтобы найти дугу BC, нам нужно использовать \( \angle A = 87° \). Дуга BCD = \( 2 \times 87° = 174° \). Дуга BCD = Дуга BC + Дуга CD.

   \( 174° = Дуга BC + 54° \)

   \( Дуга BC = 174° - 54° = 120° \).

   Проверка суммы всех дуг: \( 10° + 120° + 54° + 176° = 360° \). Все верно.

Ответ: 1) \( \angle A = 87° \), \( \angle B = 115° \), \( \angle D = 65° \). 2) Дуга CD = 54°, Дуга AD = 176°.