4. На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки P и К так, что AP = СК (точка Р лежит между точками А и К). Докажите, что ∠ADP = ∠CBK.

Доказательство:

1. В параллелограмме ABCD \( AB = CD \) и \( AD = BC \). Также \( AC \) — диагональ.
2. По условию \( AP = CK \).
3. Рассмотрим отрезки диагонали \( AC \): \( AC = AP + PK + KC \).
4. Также \( AC = AK + KC \) и \( AC = AP + PC \).
5. Из \( AP = CK \) следует, что \( AC - AP = AC - CK \), то есть \( PC = AK \).
6. Рассмотрим треугольники \( \triangle ADP \) и \( \triangle CBK \):
• \( AD = BC \) (противоположные стороны параллелограмма).
• \( AP = CK \) (по условию).
• \( \angle DAP = \angle BCK \) (противоположные углы параллелограмма).
7. По двум сторонам и углу между ними (СУС), \( \triangle ADP \) равен \( \triangle CBK \).
8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle ADP = \angle CBK \).

Что и требовалось доказать.