4. Меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 18 см. Оточка пересечения диагоналей. ∠AOD = 120°. Определите длину диагонали.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей.

\( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник \( AOD \). \( AO = DO \), значит, \( \triangle AOD \) — равнобедренный.

\( \angle AOD = 120° \). Углы при основании \( \angle OAD = \angle ODA = \frac{180° - 120°}{2} = 30° \).

Рассмотрим треугольник \( ABO \). \( \angle AOB = 180° - \angle AOD = 180° - 120° = 60° \).

Так как \( \triangle ABO \) равнобедренный (\( AO = BO \)) и \( \angle AOB = 60° \), то \( \triangle ABO \) — равносторонний. Значит, \( AB = AO = BO \).

Диагональ \( AC = 2 \cdot AO \). Если \( AO = AB \), то \( AC = 2 \cdot AB \).

В прямоугольнике ABCD, \( AB \) — большая сторона, а \( AD \) — меньшая. Но в условии сказано, что меньшая сторона равна 18 см. Значит, \( AD = 18 \) см. Тогда \( AO = DO = 18 \) см, и диагональ \( AC = 2 \cdot 18 = 36 \) см.

Ответ: 36 см.