№4. Катер прошёл по течению реки 80 км, повернув обратно, он прошёл ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость катера (км/ч).

Скорость катера по течению: \( v + 5 \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( v - 5 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{80}{v+5} \) часов.

Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{60}{v-5} \) часов.

Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 10 \) часов.

Составим уравнение:
\( \frac{80}{v+5} + \frac{60}{v-5} = 10 \)

Умножим обе части на \( (v+5)(v-5) = v^2-25 \) (при \( v \neq 5 \)):
\( 80(v-5) + 60(v+5) = 10(v^2-25) \)
\( 80v - 400 + 60v + 300 = 10v^2 - 250 \)
\( 140v - 100 = 10v^2 - 250 \)
\( 10v^2 - 140v - 150 = 0 \)
Разделим на 10:
\( v^2 - 14v - 15 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \).

Корни уравнения:

\( v_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)

\( v_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 15 \).

Проверим условие \( v \neq 5 \): \( 15 \neq 5 \).

Ответ: Собственная скорость катера равна 15 км/ч.