4) Из точки A к плоскости провели перпендикуляр AO и две наклонные AB и AC. Одна из наклонных на 7 см меньше другой, а их проекции равны 5 см и 16 см. Найдите длину перпендикуляра AO.

Пусть \(AO=h\). Наклонная с проекцией 16 см длиннее наклонной с проекцией 5 см, поскольку для обеих высота одна и та же. По теореме Пифагора их длины равны \(\sqrt{h^2+16^2}\) и \(\sqrt{h^2+5^2}\).

Их разность равна 7 см:

\(\sqrt{h^2+256}-\sqrt{h^2+25}=7\).

Возведём в квадрат после переноса второго корня:

\(h^2+256=h^2+25+14\sqrt{h^2+25}+49\).

Отсюда \(182=14\sqrt{h^2+25}\), значит, \(\sqrt{h^2+25}=13\). Тогда \(h^2=169-25=144\), поэтому \(h=12\) см.

Проверка: наклонные имеют длины 13 см и 17 см? При \(h=12\) они равны \(\sqrt{12^2+5^2}=13\) см и \(\sqrt{12^2+16^2}=20\) см, разность равна 7 см.

Ответ: 12 см.